W7. Собственные значения, собственные векторы, диагонализация матриц

Автор

Salman Ahmadi-Asl

Дата публикации

7 марта 2026 г.

1. Краткое содержание

1.1 Введение: собственные значения и собственные векторы

В линейной алгебре собственные значения (eigenvalues) и собственные векторы (eigenvectors) — один из самых сильных инструментов для понимания структуры и поведения матриц. В центре стоит вопрос: есть ли направления в пространстве, вдоль которых линейное отображение ведёт себя как простое растяжение?

Если умножить матрицу \(A\) на вектор \(\mathbf{v}\), обычно получается вектор другого направления и длины. Но для особых векторов — собственных векторов (eigenvectors) — преобразование только масштабирует \(\mathbf{v}\), не меняя направления. Коэффициент масштабирования — собственное значение (eigenvalue).

Определение (собственный вектор и собственное значение): Пусть \(A\) — матрица \(n \times n\). Ненулевой вектор \(\mathbf{v}\) называется собственным вектором \(A\), если существует скаляр \(\lambda\) такой, что:

\[A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\]

Скаляр \(\lambda\) называется собственным значением, соответствующим \(\mathbf{v}\).

Это определяющее соотношение: при умножении \(A\) на собственный вектор получается тот же вектор, умноженный на константу; направление «остаётся на своей прямой» через начало координат.

Геометрическая наглядность: матрица задаёт преобразование, которое может растягивать, поворачивать и сдвигать пространство. Собственное направление особое: вдоль него действие совпадает с одним лишь масштабом — это «естественные оси» или principal directions преобразования.

1.1.1 Простые примеры

Пусть \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) и \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\).

\[A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} = 3 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Так как \(A\mathbf{v} = 3\mathbf{v}\), вектор \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\) — собственный с \(\lambda = 3\).

1.2 Поиск собственных значений: характеристическое уравнение

Из \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\) получаем однородную систему:

\[A\mathbf{v} - \lambda\mathbf{v} = \mathbf{0}\]

\[(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\]

где \(I\) — единичная матрица. Ненулевое решение \(\mathbf{v}\) существует тогда и только тогда, когда \((A - \lambda I)\) вырождена (singular):

\[\det(A - \lambda I) = 0\]

Это характеристическое уравнение (characteristic equation) матрицы \(A\); \(\det(A - \lambda I)\) — характеристический многочлен (characteristic polynomial) степени \(n\) по \(\lambda\).

Алгоритм поиска собственных значений:

  1. Вычислить характеристический многочлен \(\det(A - \lambda I)\).
  2. Решить уравнение \(\det(A - \lambda I) = 0\).
  3. Корни — собственные значения \(A\).

Замечание: основная теорема алгебры гарантирует над \(\mathbb{C}\) наличие хотя бы одного собственного значения (и не более \(n\) различных с учётом кратностей). У вещественной матрицы собственные значения могут быть комплексными.

Частный случай — треугольные матрицы: если \(A\) верхне- или нижнетреугольна,

\[\det(A - \lambda I) = \prod_{i=1}^n (a_{ii} - \lambda)\]

значит собственные значения треугольной матрицы — её диагональные элементы.

1.3 Поиск собственных векторов

Для найденного \(\lambda\) решают однородную систему

\[(A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\]

Множество решений — собственное подпространство (eigenspace) для \(\lambda\); из него берут ненулевые собственные векторы.

Алгоритм:

  1. Составить \((A - \lambda I)\).
  2. Привести к ступенчатому виду и найти ядро (null space).
  3. Записать решение через свободные переменные (free variables).
  4. Выбрать базис ядра — базис собственных векторов.
1.4 След, определитель и собственные значения

След (trace): сумма собственных значений (с алгебраической кратностью, algebraic multiplicity) равна следу:

\[\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = \text{tr}(A) = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}\]

Определитель: произведение собственных значений (с той же кратностью) равно \(\det(A)\):

\[\lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdots \lambda_n = \det(A)\]

Эти связи удобны для проверки ручных вычислений.

1.5 Линейная независимость собственных векторов

Теорема: если \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\) — собственные векторы, отвечающие попарно различным \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\), то они линейно независимы. Это основа диагонализации (diagonalization).

1.6 Диагонализация

Часто цель анализа — представить \(A\) в простом виде через собственные данные.

Матрица \(A\) размера \(n \times n\) диагонализуема (diagonalizable), если существуют обратимая \(P\) и диагональная \(D\) такие, что:

\[A = PDP^{-1}\]

Эквивалентно, \(D = P^{-1}AP\).

Здесь \(D = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\), а столбцы \(P\) — соответствующие собственные векторы: \(P = [\mathbf{v}_1 \ \cdots \ \mathbf{v}_n]\).

Когда возможна диагонализация? Нужны \(n\) линейно независимых собственных векторов.

  • Случай 1: \(n\) различных собственных значений — тогда собственные векторы автоматически независимы.
  • Случай 2: кратные собственные значения — для каждого \(\lambda\) сравнивают геометрическую кратность (geometric multiplicity, размерность собственного подпространства) с алгебраической.

Матрица с кратными собственными значениями, но без \(n\) независимых собственных векторов, называется дефектной (defective) и не диагонализуема.

1.6.1 Зачем диагонализация
  1. Степени: \(A^k = PD^kP^{-1}\), а \(D^k\) считается по диагонали.
  2. Дифференциальные уравнения: системы \(\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}\) упрощаются после диагонализации \(A\).
  3. Геометрия: видны главные оси, вдоль которых действие — чистое масштабирование.
1.7 Спектральные факты

Теорема Кэли–Гамильтона (Cayley–Hamilton): \(p(A) = 0\), где \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\).

Спектральное отображение (spectral mapping): если \(p\) — многочлен, то собственные значения \(p(A)\) — это \(p(\lambda_i)\).

Вещественная симметричная \(A = A^T\): все \(\lambda_i\) вещественны; собственные векторы для разных \(\lambda\) ортогональны; \(A = Q\Lambda Q^T\) с ортогональной \(Q\) (спектральная теорема, Spectral Theorem).

1.8 Приложения
  • Физика: моды колебаний, главные напряжения, уровни энергии в квантовой механике.
  • Информатика: PageRank, сжатие изображений, распознавание.
  • Анализ данных: PCA и снижение размерности.
  • Экономика: межотраслевые модели, портфельная оптимизация.

2. Определения

  • Собственное значение (eigenvalue): скаляр \(\lambda\), для которого \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\) при некотором ненулевом \(\mathbf{v}\).
  • Собственный вектор (eigenvector): ненулевой \(\mathbf{v}\) с \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\).
  • Характеристический многочлен: \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\).
  • Характеристическое уравнение: \(\det(A - \lambda I) = 0\).
  • Собственное подпространство: \(\mathcal{N}(A - \lambda I)\) (вместе с нулём).
  • Алгебраическая кратность: кратность корня \(\lambda\) у \(p(\lambda)\).
  • Геометрическая кратность: \(\dim \mathcal{N}(A - \lambda I)\).
  • Диагонализуемая матрица: существуют \(P\), \(D\) с \(A = PDP^{-1}\).
  • Дефектная матрица: не хватает независимых собственных векторов для диагонализации.
  • След: \(\text{tr}(A) = \sum a_{ii}\) — сумма собственных значений с кратностями.
  • Подобные матрицы (similar): \(B = P^{-1}AP\) — те же собственные значения.
  • Ортогональная матрица: \(Q^T Q = I\), \(Q^{-1} = Q^T\).
  • Спектральная теорема: вещественная симметричная \(A\) ортогонально диагонализуема.

3. Формулы

  • Связка собственных данных: \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)
  • Характеристическое уравнение: \(\det(A - \lambda I) = 0\)
  • Собственные векторы: \((A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\)
  • След и сумма \(\lambda_i\): \(\text{tr}(A) = \sum \lambda_i\)
  • Определитель и произведение \(\lambda_i\): \(\det(A) = \prod \lambda_i\)
  • Диагонализация: \(A = PDP^{-1}\), \(D = \text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\)
  • Степень: \(A^k = PD^kP^{-1}\)
  • Обратная: \(A^{-1} = PD^{-1}P^{-1}\) (если все \(\lambda_i \neq 0\))
  • Спектральное разложение симметричной: \(A = Q\Lambda Q^T\)
  • Степень матрицы: если \(\lambda\) — собственное \(A\), то \(\lambda^k\) — собственное \(A^k\)
  • Обратная матрица: собственные значения \(A^{-1}\) — величины \(1/\lambda\)
  • Кэли–Гамильтон: \(p(A) = 0\)

4. Примеры

4.1. Свойства собственных значений (Лаба 6, Задание 1)

Найдите собственные значения матрицы \(A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\). Проверьте, что след равен сумме собственных значений, а определитель — их произведению.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: из уравнения \(\det(A - \lambda I) = 0\) получают собственные значения; они должны удовлетворять связям со следом и определителем.

  1. Характеристическое уравнение: \[\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 1 - \lambda & -1 \\ 2 & 4 - \lambda \end{bmatrix} = 0\]
  2. Развёртка определителя: \[(1 - \lambda)(4 - \lambda) - (-1)(2) = 0\] \[\lambda^2 - 5\lambda + 4 + 2 = 0\] \[\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0\]
  3. Корни: \[(\lambda - 2)(\lambda - 3) = 0 \implies \lambda_1 = 2,\quad \lambda_2 = 3\]
  4. Проверка следа: \[\text{tr}(A) = 1 + 4 = 5, \quad \lambda_1 + \lambda_2 = 2 + 3 = 5 \quad \checkmark\]
  5. Проверка определителя: \[\det(A) = 1 \cdot 4 - (-1)(2) = 6, \quad \lambda_1 \cdot \lambda_2 = 2 \cdot 3 = 6 \quad \checkmark\]

Ответ: \(\lambda_1 = 2\), \(\lambda_2 = 3\); связи со следом и определителем выполнены.

4.2. Проверка собственного вектора (Лаба 6, Задание 2)

(а) Для \(A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -4 & 8 \end{bmatrix}\) и \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\): является ли \(\mathbf{v}\) собственным вектором \(A\)? Если да, каково \(\lambda\)?

(б) Для \(B = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\) и \(\mathbf{w} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}\): является ли \(\mathbf{w}\) собственным вектором \(B\)? Если да, каково \(\lambda\)?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\mathbf{v}\) — собственный вектор \(A\), если \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\) для некоторого скаляра \(\lambda\); вычисляем \(A\mathbf{v}\) и смотрим, кратен ли результат \(\mathbf{v}\).

(а)

  1. Вычислим \(A\mathbf{v}\): \[A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -4 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix} = 4\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]
  2. Вывод: да, \(\mathbf{v}\) — собственный вектор с \(\lambda = 4\).

(б)

  1. Вычислим \(B\mathbf{w}\): \[B\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 0\begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}\]
  2. Вывод: да, \(\mathbf{w}\) — собственный вектор с \(\lambda = 0\).

Ответ: (а) \(\mathbf{v}\) — собственный вектор \(A\) с \(\lambda = 4\). (б) \(\mathbf{w}\) — собственный вектор \(B\) с \(\lambda = 0\).

4.3. Построение матрицы по собственным значениям (Лаба 6, Задание 3)

Приведите три примера матриц \(2 \times 2\) с собственными значениями \(\lambda_1 = 4\), \(\lambda_2 = 5\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: у треугольной (и диагональной) матрицы собственные значения — диагональ; любая матрица, подобная диагональной с \(4\) и \(5\) на диагонали, имеет те же собственные значения — решений бесконечно много.

  1. Диагональная: \[A_1 = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\]
  2. Верхнетреугольная: \[A_2 = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\]
  3. Нижнетреугольная: \[A_3 = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\]

Ответ: например \(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\) (возможны и другие ответы).

4.4. Собственные значения и векторы \(3 \times 3\) (Лаба 6, Задание 4)

Найдите собственные значения и собственные векторы матрицы \[A = \begin{bmatrix} 0 & 6 & 8 \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: для \(3 \times 3\) находят характеристический многочлен (разложение по минорам), факторизуют, затем для каждого \(\lambda\) решают \((A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\).

Шаг 1: характеристический многочлен

\[\det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} -\lambda & 6 & 8 \\ 0.5 & -\lambda & 0 \\ 0 & 0.5 & -\lambda \end{bmatrix}\]

Разложение по первому столбцу: \[= -\lambda(\lambda^2) - 0.5(-6\lambda - 4) = -\lambda^3 + 3\lambda + 2\]

Шаг 2: корни

\[-(\lambda - 2)(\lambda + 1)^2 = 0\]

Итак \(\lambda_1 = 2\) (кратность \(1\)) и \(\lambda_2 = -1\) (кратность \(2\)).

Шаг 3: \(\lambda_1 = 2\)

Приведение \((A - 2I)\): \[\begin{bmatrix} -2 & 6 & 8 \\ 0.5 & -2 & 0 \\ 0 & 0.5 & -2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -16 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

Свободная переменная \(z = t\): \(x = 16t\), \(y = 4t\).

\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 16 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Шаг 4: \(\lambda_2 = -1\)

Приведение \((A + I)\): \[\begin{bmatrix} 1 & 6 & 8 \\ 0.5 & 1 & 0 \\ 0 & 0.5 & 1 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

\(z = t\): \(x = 4t\), \(y = -2t\).

\[\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Ответ: \(\lambda_1 = 2\), \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 16 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}\); \(\lambda_2 = -1\) (кратность \(2\)), \(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\).

4.5. Диагонализация (Лаба 6, Задание 5)

Диагонализуйте матрицу \(A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\) (найдите \(C\) и \(D\) такие, что \(A = CDC^{-1}\)).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: найти собственные значения и векторы, составить \(C\) из столбцов-векторов и диагональную \(D\) из \(\lambda_i\).

Шаг 1: собственные значения

\[\det(A - \lambda I) = \left(\tfrac{1}{2} - \lambda\right)^2 - \tfrac{9}{4} = \lambda^2 - \lambda - 2 = (\lambda + 1)(\lambda - 2) = 0\]

\(\lambda_1 = -1\), \(\lambda_2 = 2\).

Шаг 2: вектор для \(\lambda_1 = -1\)

\[(A + I)\mathbf{v} = \mathbf{0}: \quad \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & \frac{3}{2} \end{bmatrix} \mathbf{v} = \mathbf{0} \implies x = -y\]

\[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Шаг 3: вектор для \(\lambda_2 = 2\)

\[(A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}: \quad \begin{bmatrix} -\frac{3}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \end{bmatrix} \mathbf{v} = \mathbf{0} \implies x = y\]

\[\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Шаг 4: \(C\), \(D\), \(C^{-1}\)

\[C = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\]

\[\det(C) = -2, \quad C^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\]

Ответ: \[A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\]

4.6. Степень матрицы через диагонализацию (Лаба 6, Задание 6)

Для \(A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) вычислите \(A^{100}\) с помощью диагонализации.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: если \(A = CDC^{-1}\), то \(A^{100} = CD^{100}C^{-1}\), а \(D^{100}\) считается по диагонали.

Шаг 1: собственные значения

\[\text{tr}(A) = 6, \quad \det(A) = 5 \implies \lambda^2 - 6\lambda + 5 = (\lambda - 1)(\lambda - 5) = 0\]

\(\lambda_1 = 5\), \(\lambda_2 = 1\).

Шаг 2: собственные векторы

Для \(\lambda_1 = 5\): \((A - 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\) даёт \(x = 3y \implies \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Для \(\lambda_2 = 1\): \((A - I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\) даёт \(x = -y \implies \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)

Шаг 3: диагонализация

\[C = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

\[\det(C) = -4, \quad C^{-1} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\]

Шаг 4: \(A^{100}\)

\[D^{100} = \begin{bmatrix} 5^{100} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

\[A^{100} = C D^{100} C^{-1} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5^{100} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\]

\[= \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 3 \cdot 5^{100} + 1 & 3 \cdot 5^{100} - 3 \\ 5^{100} - 1 & 5^{100} + 3 \end{bmatrix}\]

Ответ: \[A^{100} = \frac{1}{4}\begin{bmatrix} 3 \cdot 5^{100} + 1 & 3(5^{100} - 1) \\ 5^{100} - 1 & 5^{100} + 3 \end{bmatrix}\]

4.7. Собственные значения и векторы матрицы \(2 \times 2\) (Задание 6, №1)

Найдите собственные значения и соответствующие собственные векторы матрицы \[A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: характеристический многочлен, корни — собственные значения; для каждого \(\lambda\) — ядро \((A - \lambda I)\).

Шаг 1: собственные значения

\[\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 4 - \lambda & 1 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = 0\]

\[(4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 = 0\] \[12 - 7\lambda + \lambda^2 - 2 = 0\] \[\lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0\] \[(\lambda - 2)(\lambda - 5) = 0\]

\(\lambda_1 = 2\), \(\lambda_2 = 5\).

Шаг 2: \(\lambda_1 = 2\)

\((A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\):

\[\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\(2x + y = 0 \Rightarrow y = -2x\)

\[\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\]

Шаг 3: \(\lambda_2 = 5\)

\((A - 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\):

\[\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\(-x + y = 0 \Rightarrow y = x\)

\[\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Ответ: \(\lambda_1 = 2\), \(\lambda_2 = 5\); \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\).

4.8. Собственные подпространства и кратности (Задание 6, №2)

Для матрицы \(C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\):

(а) Найдите характеристический многочлен \(C\).

(б) Найдите все собственные значения \(C\).

(в) Для каждого собственного значения укажите базис собственного подпространства.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: характеристический многочлен — \(\det(C - \lambda I)\); корни — собственные значения; собственное подпространство — \(\mathcal{N}(C - \lambda I)\).

Шаг 1: характеристический многочлен

\[\det(C - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 1 & 2 - \lambda & 1 \\ -1 & 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix}\]

В первом столбце два нуля — разложение по нему: \[(2 - \lambda) \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 1 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)[(2 - \lambda)(1 - \lambda) - 0]\]

\[= (2 - \lambda)^2(1 - \lambda)\]

Шаг 2: собственные значения

Из \((2 - \lambda)^2(1 - \lambda) = 0\): \[\lambda_1 = 2 \text{ (кратность 2)}, \quad \lambda_2 = 1 \text{ (кратность 1)}\]

Шаг 3: \(\lambda = 2\)

\((C - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\):

\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Из второй строки: \(x + z = 0 \Rightarrow z = -x\); \(y\) свободна.

\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = x\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]

Базис: \(\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}\) (геометрическая кратность \(= 2\))

Шаг 4: \(\lambda = 1\)

\((C - I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\):

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]

\(x = 0\), \(y + z = 0 \Rightarrow z = -y\).

\[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = y\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\]

Базис: \(\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}\) (геометрическая кратность \(= 1\))

Ответ: (а) \((2 - \lambda)^2(1 - \lambda)\)

(б) \(\lambda = 2\) (кратность \(2\)) и \(\lambda = 1\) (кратность \(1\))

(в)

  • при \(\lambda = 2\): \(\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}\)
  • при \(\lambda = 1\): \(\text{span}\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \right\}\)
4.9. Матрица по собственным векторам и значениям (Задание 6, №3)

Пусть \(A\) — матрица \(2 \times 2\) с собственными значениями \(\lambda_1 = 3\), \(\lambda_2 = -2\) и собственными векторами \(\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Найдите \(A\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: из \(A\mathbf{v}_i = \lambda_i\mathbf{v}_i\) получают линейную систему на элементы \(A\).

  1. Запишем уравнения: пусть \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\). Тогда \[A\mathbf{v}_1 = \lambda_1\mathbf{v}_1 \Rightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\]

    \[A\mathbf{v}_2 = \lambda_2\mathbf{v}_2 \Rightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

  2. Первое уравнение: \[\begin{pmatrix} a + 2b \\ c + 2d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}\]

    \(a + 2b = 3\), \(c + 2d = 6\)

  3. Второе уравнение: \[\begin{pmatrix} -a + b \\ -c + d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix}\]

    \(-a + b = 2\), \(-c + d = -2\)

  4. Решение:

    • из (1) и (3): \(3b = 5 \Rightarrow b = \frac{5}{3}\), \(a = -\frac{1}{3}\)
    • из (2) и (4): \(3d = 4 \Rightarrow d = \frac{4}{3}\), \(c = \frac{10}{3}\)

  5. Матрица: \[A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{10}{3} & \frac{4}{3} \end{pmatrix}\]

Ответ: \(A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{10}{3} & \frac{4}{3} \end{pmatrix}\)

4.10. Проверка пары «собственное значение — вектор» (Задание 6, №4)

Для \(D = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ -4 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}\) проверьте, что \(\lambda = 1\) — собственное значение с собственным вектором \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: вычислить \(D\mathbf{v}\) и сравнить с \(\lambda\mathbf{v}\).

  1. \(D\mathbf{v}\): \[D\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 2 \\ -4 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]
  2. Компоненты:
    • первая строка: \(5(2) + (-4)(2) + 2(-1) = 10 - 8 - 2 = 0\)
    • вторая строка: \((-4)(2) + 5(2) + 2(-1) = -8 + 10 - 2 = 0\)
    • третья строка: \(2(2) + 2(2) + 2(-1) = 4 + 4 - 2 = 6\)
  3. Результат: \[D\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix}\]
  4. Сравнение с \(\lambda\mathbf{v}\): \[\lambda\mathbf{v} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]
  5. Вывод: \[\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\]

Ответ: пара \(\lambda = 1\), \(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) не удовлетворяет \(D\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\); в формулировке задания, вероятно, опечатка.

4.11. Свойство собственных значений для обратимой матрицы (Задание 6, №5)

Докажите: если \(\lambda\) — собственное значение обратимой матрицы \(A\), то \(1/\lambda\) — собственное значение \(A^{-1}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: из определения собственного значения и свойств обратной матрицы переписать уравнение для \(A\) в виде уравнения для \(A^{-1}\).

Доказательство:

  1. Пусть \(\lambda\) — собственное значение обратимой \(A\) с собственным вектором \(\mathbf{v}\). Тогда \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\).
  2. Так как \(A\) обратима, \(\det(A) \neq 0\) и \(\det(A) = \prod \lambda_i\), значит \(\lambda \neq 0\).
  3. Умножим слева на \(A^{-1}\): \(A^{-1}(A\mathbf{v}) = A^{-1}(\lambda\mathbf{v})\), откуда \(\mathbf{v} = \lambda A^{-1}\mathbf{v}\).
  4. Разделим на \(\lambda\): \(\frac{1}{\lambda}\mathbf{v} = A^{-1}\mathbf{v}\).
  5. Стандартная форма: \(A^{-1}\mathbf{v} = \frac{1}{\lambda}\mathbf{v}\).
  6. Вывод: \(\mathbf{v}\) — собственный вектор \(A^{-1}\) с собственным значением \(1/\lambda\).

Ответ: если \(\lambda\) — собственное значение обратимой \(A\), то \(1/\lambda\) — собственное значение \(A^{-1}\) (тот же вектор \(\mathbf{v}\)).

4.12. Верно или неверно: свойства собственных значений (Задание 6, №6)

Для каждого утверждения укажите, верно оно или нет, и обоснуйте.

(a) Если \(0\) — собственное значение \(A\), то \(A\) вырождена (необратима).

(b) Если \(\lambda\) — собственное значение \(A\), то \(\lambda^2\) — собственное значение \(A^2\).

(c) У матрицы могут быть разные собственные значения с одним и тем же собственным вектором.

(d) Если у \(A\) и \(B\) одинаковые собственные значения, то \(A = B\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: проверка по определениям и свойствам собственных значений и векторов.

(a) Верно.

Если \(0\) — собственное значение \(A\), существует \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) такой, что \[A\mathbf{v} = 0\mathbf{v} = \mathbf{0}\] Тогда \(\mathbf{v} \in \mathcal{N}(A)\), ядро нетривиально, \(A\) необратима.

(b) Верно.

Из \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\): \[A^2\mathbf{v} = A(A\mathbf{v}) = A(\lambda\mathbf{v}) = \lambda A\mathbf{v} = \lambda(\lambda\mathbf{v}) = \lambda^2\mathbf{v}\] Значит \(\mathbf{v}\) — собственный вектор \(A^2\) с значением \(\lambda^2\).

(c) Неверно.

Если \(A\mathbf{v} = \lambda_1\mathbf{v}\) и \(A\mathbf{v} = \lambda_2\mathbf{v}\), то \((\lambda_1 - \lambda_2)\mathbf{v} = \mathbf{0}\); при \(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) получаем \(\lambda_1 = \lambda_2\).

(d) Неверно.

Контрпример: \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \quad \text{и} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\] У диагональной \(A\) и верхнетреугольной \(B\) собственные значения \(1\) и \(2\), но \(A \neq B\).

Ответ: (a) верно, (b) верно, (c) неверно, (d) неверно.

4.13. Описать все матрицы, диагонализующие \(A\) (Задание 6, №7)

Опишите все матрицы \(S\), которые диагонализуют \[A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: столбцы диагонализующей \(S\) — собственные векторы \(A\); разные ненулевые кратные и порядок столбцов дают разные подходящие \(S\).

Шаг 1. Собственные значения

\(A\) верхнетреугольная ⇒ \(\lambda_1 = 4\), \(\lambda_2 = 2\) (диагональ).

Шаг 2. Собственный вектор для \(\lambda_1 = 4\)

\((A - 4I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\): \[\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\] Из второй строки \(x = 2y\), \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\).

Шаг 3. Собственный вектор для \(\lambda_2 = 2\)

\((A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\): \[\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\] \(x = 0\), \(y\) свободна: \(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\).

Шаг 4. Все подходящие \(S\)

Ненулевое кратное собственного вектора снова собственный вектор, поэтому \[S = \begin{bmatrix} 2a & 0 \\ a & b \end{bmatrix} \quad \text{при } a \neq 0,\; b \neq 0\] (первый столбец — \(a\mathbf{v}_1\), второй — \(b\mathbf{v}_2\)).

Ответ: все \(S = \begin{bmatrix} 2a & 0 \\ a & b \end{bmatrix}\) при \(a \neq 0\), \(b \neq 0\) диагонализуют \(A\).

4.14. Какая матрица не диагонализуема? (Задание 6, №8)

Какая из матриц не диагонализуется?

\[A_1 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}, \quad A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: диагонализуемость ⇔ сумма геометрических кратностей равна \(n\); при кратных собственных значениях смотрим размерность собственного подпространства.

\(A_1\): \[\det(A_1 - \lambda I) = \lambda^2 \Rightarrow \lambda = 0\] кратности 2. \(A_1\mathbf{v} = \mathbf{0}\) даёт \(x = y\), одномерное собственное подпространство — не диагонализуема.

\(A_2\): верхнетреугольная, \(\lambda_1 = 2\), \(\lambda_2 = -2\) различны ⇒ диагонализуема.

\(A_3\): \(\lambda = 2\) кратности 2; \((A_3 - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\) даёт одномерное пространство \(\mathrm{span}\{(0,1)^T\}\) — не диагонализуема.

Ответ: не диагонализуются \(A_1\) и \(A_3\); диагонализуется только \(A_2\).

4.15. Собственные значения и проверка следа с определителем (Лекция 6, Пример 1)

Найдите собственные значения матрицы \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\). Проверьте, что след равен сумме собственных значений, а определитель — их произведению.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: корни характеристического уравнения \(\det(A - \lambda I) = 0\); для \(2 \times 2\) след и определитель связаны со спектром.

  1. \(\det(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = \det \begin{bmatrix} 1 - \lambda & -1 \\ 2 & 4 - \lambda \end{bmatrix} = 0\)
  2. \((1 - \lambda)(4 - \lambda) + 2 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0\)
  3. \(\lambda = \frac{5 \pm 1}{2}\), т.е. \(\lambda_1 = 3\), \(\lambda_2 = 2\)
  4. След: \(\text{tr}(\mathbf{A}) = 5 = \lambda_1 + \lambda_2\) ✓
  5. Определитель: \(\det(\mathbf{A}) = 6 = \lambda_1 \lambda_2\) ✓

Ответ: \(\lambda_1 = 3\), \(\lambda_2 = 2\); связи со следом и определителем выполнены.

4.16. Является ли вектор собственным (Лекция 6, Пример 2)

Для \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -4 & 8 \end{bmatrix}\) и \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\): является ли \(\mathbf{v}\) собственным вектором \(\mathbf{A}\)? Если да, каково собственное значение?

Для \(\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}\) и \(\mathbf{w} = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \end{bmatrix}\): является ли \(\mathbf{w}\) собственным вектором \(\mathbf{B}\)? Если да, каково собственное значение?

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\mathbf{v}\) — собственный вектор, если \(\mathbf{A}\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\) для некоторого \(\lambda\).

(a) Матрица \(\mathbf{A}\), вектор \(\mathbf{v}\): \(\mathbf{A}\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix} = 4\mathbf{v}\) ⇒ да, \(\lambda = 4\).

(b) Матрица \(\mathbf{B}\), вектор \(\mathbf{w}\): \(\mathbf{B}\mathbf{w} = \mathbf{0} = 0\cdot\mathbf{w}\) ⇒ да, \(\lambda = 0\).

Ответ: \(\mathbf{v}\) — собственный для \(\mathbf{A}\) с \(\lambda = 4\); \(\mathbf{w}\) — собственный для \(\mathbf{B}\) с \(\lambda = 0\).

4.17. Три матрицы с заданными собственными значениями (Лекция 6, Пример 3)

Приведите три матрицы \(2 \times 2\) с собственными значениями \(\lambda_1 = 4\) и \(\lambda_2 = 5\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: по одному спектру матриц бесконечно много; удобно брать диагональные или треугольные, где значения стоят на диагонали.

  1. \(\mathbf{D} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\)
  2. \(\mathbf{U} = \begin{bmatrix} 4 & x \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\), \(x \neq 0\) произвольно
  3. \(\mathbf{L} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ y & 5 \end{bmatrix}\), \(y \neq 0\) произвольно

Ответ (пример): \(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}\) (возможны и другие).

4.18. Собственные значения и векторы матрицы \(3 \times 3\) (Лекция 6, Пример 4)

Найдите собственные значения и векторы матрицы \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 6 & 8 \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: характеристический многочлен разложением по столбцу/строке, затем \((\mathbf{A} - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0}\).

Шаг 1. \(f(\lambda) = \det(\mathbf{A} - \lambda\mathbf{I}) = -\lambda^3 + 3\lambda + 2\).

Шаг 2. \(f(\lambda) = -(\lambda - 2)(\lambda + 1)^2\) ⇒ \(\lambda_1 = 2\) (простое), \(\lambda_2 = -1\) (кратность 2).

Шаг 3. Для \(\lambda_1 = 2\): приведение к \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -16 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) ⇒ \(\mathbf{v}_1 \propto \begin{bmatrix} 16 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}\).

Шаг 4. Для \(\lambda_2 = -1\): RREF \(\begin{bmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\) ⇒ \(\mathbf{v}_2 \propto \begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\).

Ответ: \(\lambda_1 = 2\), \(\lambda_2 = -1\) (кратность 2); собственные направления \(\begin{bmatrix} 16 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}\) и \(\begin{bmatrix} 4 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\) (с точностью до скаляра).

4.19. Диагонализация матрицы \(2 \times 2\) (Лекция 6, Пример 5)

Диагонализуйте матрицу \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: найти спектр и базис собственных векторов; \(\mathbf{A} = \mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{C}^{-1}\), столбцы \(\mathbf{C}\) — собственные векторы, \(\mathbf{D}\) — диагональ из собственных значений.

Собственные значения: \((\lambda+1)(\lambda-2)=0\) ⇒ \(\lambda_1 = -1\), \(\lambda_2 = 2\). Собственные векторы \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\).

\[\mathbf{C} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{C}^{-1} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\]

Ответ: \(\mathbf{A} = \mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{C}^{-1}\) с указанными \(\mathbf{C}\), \(\mathbf{D}\).

4.20. Степень матрицы через диагонализацию (Лекция 6, Пример 6)

Для \(\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) выразите \(\mathbf{A}^{100}\) через диагонализацию.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\mathbf{A}^{100} = \mathbf{C}\mathbf{D}^{100}\mathbf{C}^{-1}\), \(\mathbf{D}\) диагональна.

По следу и определителю: \(\lambda_1 + \lambda_2 = 6\), \(\lambda_1\lambda_2 = 5\) ⇒ \(\lambda_1 = 5\), \(\lambda_2 = 1\). Собственные векторы \(\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}\) и \(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\).

\[\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{D}^{100} = \begin{bmatrix} 5^{100} & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Ответ: \(\mathbf{A}^{100} = \mathbf{C}\mathbf{D}^{100}\mathbf{C}^{-1}\); численно \(5^{100}\) считают на ЭВМ, но формула задаёт способ вычисления.

4.21. Собственные значения треугольной матрицы: след и определитель (Туториал 6, Задание 1)

Найдите собственные значения \[A = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\] и проверьте \(\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = \text{tr}(A)\), \(\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = \det(A)\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: для верхнетреугольной \(A\) собственные значения — диагональные элементы.

\(\lambda_1 = 3\), \(\lambda_2 = 1\), \(\lambda_3 = 0\); \(\text{tr}(A) = 4\), сумма \(\lambda_i\) равна 4 ✓; \(\det(A) = 0\), произведение \(\lambda_i\) равно 0 ✓.

Ответ: \(3, 1, 0\); проверки следа и определителя выполнены.

4.22. Симметричная матрица \(3 \times 3\): спектр и собственные векторы (Туториал 6, Задание 2)

Найдите собственные значения и векторы матрицы \[B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\det(B - \lambda I) = 0\), затем ядра \(B - \lambda I\).

  1. Разложение по второй строке даёт \(-(\lambda - 2)^2(\lambda + 2) = 0\).
  2. \(\lambda_{1,2} = 2\) (алгебраическая кратность 2), \(\lambda_3 = -2\).
  3. Для \(\lambda = 2\): \(x_1 = x_3\), \(x_2\) свободна; базис \(\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}\).
  4. Для \(\lambda = -2\): \(x_1 = -x_3\), \(x_2 = 0\); \(\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}\).

Ответ: \(\lambda = 2\) (кратность 2) с указанными двумя векторами; \(\lambda = -2\) с \(\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}\).

4.23. Подбор характеристического многочлена (Туториал 6, Задание 3)

Подберите \(a\), \(b\), \(c\) в третьей строке \[A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ a & b & c \end{bmatrix}\] так, чтобы \(|A - \lambda I| = -\lambda^3 + 4\lambda^2 + 5\lambda + 6\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: это матрица спутника (companion matrix); \(\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + c\lambda^2 + b\lambda + a\).

Сравнение коэффициентов: \(c = 4\), \(b = 5\), \(a = 6\).

Ответ: \(a = 6\), \(b = 5\), \(c = 4\).

4.24. Собственные векторы и значения — дополните фразы (Туториал 6, Задание 4)

Дополните:

(a) Если известно, что \(\mathbf{x}\) — собственный вектор \(A\), чтобы найти \(\lambda\), нужно _______.

(b) Если известно, что \(\lambda\) — собственное значение \(A\), чтобы найти \(\mathbf{x}\), нужно _______.

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: уравнение \(A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}\) используют в обе стороны.

(a) Вычислить \(A\mathbf{x}\) и найти \(\lambda\) из пропорциональности \(A\mathbf{x}\) и \(\mathbf{x}\); при ненулевой \(i\)-й компоненте \(\mathbf{x}\) можно взять \(\lambda = (A\mathbf{x})_i / x_i\).

(b) Решить однородную систему \((A - \lambda I)\mathbf{x} = \mathbf{0}\); собственные векторы — ненулевые векторы из \(\mathcal{N}(A - \lambda I)\).

Ответ: (a) вычислить \(A\mathbf{x}\) и снять \(\lambda\) по ненулевой координате. (b) найти ядро \((A - \lambda I)\) (например, приведением строк).

4.25. Полный спектр и две диагонализующие матрицы (Туториал 6, Задание 5)

Найдите все собственные значения и векторы \[A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\] и укажите две различные диагонализующие матрицы \(S\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(\mathrm{rank}(A)=1\) ⇒ \(0\) собственное значение кратности 2 и значение \(\mathrm{tr}(A)=3\).

  1. \(\lambda^2(\lambda - 3) = 0\).
  2. Для \(\lambda = 0\): \(x_1+x_2+x_3=0\), базис \(\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}\).
  3. Для \(\lambda = 3\): \(\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\).
  4. Примеры \(S\): \[S_1 = \begin{bmatrix}1&1&1\\-1&0&1\\0&-1&1\end{bmatrix}, \quad S_2 = \begin{bmatrix}1&-1&1\\-1&-1&1\\0&2&1\end{bmatrix}\]

Ответ: \(\lambda = 0\) (кратность 2), \(\lambda = 3\); любая обратимая \(S\) с двумя независимыми векторами из \(\mathcal{N}(A)\) и столбцом \(\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}\) подходит.

4.26. Формула для \(A^k\) через диагонализацию (Туториал 6, Задание 6)

Диагонализуйте \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) и вычислите \(S\Lambda^k S^{-1}\), чтобы получить \[A^k = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 3^k + 1 & 3^k - 1 \\ 3^k - 1 & 3^k + 1 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: \(A^k = S\Lambda^k S^{-1}\).

\(\lambda = 1, 3\); \(S = \begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}\), \(\Lambda = \begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}\), \(S^{-1} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}\).

Умножение даёт указанную формулу.

Ответ: формула для \(A^k\) верна ✓

4.27. Все матрицы, диагонализующие \(A\) и \(A^{-1}\) (Туториал 6, Задание 7)

Опишите все матрицы \(S\), диагонализующие \(A = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\). То же для \(A^{-1}\).

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: столбцы \(S\) — ненулевые кратные собственных векторов \(A\), порядок столбцов произволен при обратимости.

\(S = \begin{bmatrix}2\alpha & 0 \\ \alpha & \beta\end{bmatrix}\), \(\alpha,\beta \neq 0\). У \(A^{-1}\) те же собственные векторы (значения \(1/4\), \(1/2\)), тот же класс \(S\).

Ответ: все обратимые \(S\) со столбцами, пропорциональными \(\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\) и \(\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\), диагонализуют и \(A\), и \(A^{-1}\).

4.28. Какая матрица не диагонализуется? (Туториал 6, Задание 8)

Какая из матриц не диагонализуется? \[A_1 = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}, \quad A_2 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & -2 \end{bmatrix}, \quad A_3 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]

Нажмите, чтобы увидеть решение

Ключевая идея: для каждого собственного значения геометрическая кратность должна совпадать с алгебраической.

\(A_1\): \(\lambda = 0\) кратности 2, \(\mathrm{nullity}(A_1)=1\) — не диагонализуема.

\(A_2\): различные \(\lambda = \pm 2\) — диагонализуема.

\(A_3\): \(\lambda = 2\) кратности 2, \(\mathrm{nullity}(A_3-2I)=1\) — не диагонализуема.

Ответ: не диагонализуются \(A_1\) и \(A_3\); \(A_2\) диагонализуется.